حل معادلات با مشتق جزیی در ریاضیات مهندسی

حل معادلات با مشتق جزیی در ریاضیات مهندسی

هر معادله از x ,y , u و مشتقات جزی u نسبت به x و y یک معادله با مشتق جزییموسوم است. در بحث مربوط با معادلات با مشتقات جزیی ، بنا نداریم به بررسیانواع مختلف این گونه معادلات بپردازیم بلکه دسته خاصی از این نوع معادلات راکه به معادلات ریاضی فیزیک مرسوم هستند مورد بررسی قرار دهیم.معادلات ریاضی فیزیک اصولا نوعی معادلات خطی یا به خطی از نوع دوم هستند.منظور از یک معادله دیفرانسیل یا مشتق جزیی مرتبه دوم معادله ای است که نسبت بهu و مشتقات جزیی آن خطی باشد. معادلات شبه خطی بیشتر مورد توجه ما هستند.اینگونه معادلات تنها نسبت به مشتقات جزئی مرتبه دوم خطی هستند.دسته های خاصی از معادلات شبه خطی در مسائل کاربردی از اهمیت ویژه ایبرخوردار بوده و هستند و به معادلات ریاضی فیزیک مرسوم هستند.

معادلات شبه خطی عبارتند از :

1. معادلات موجی2. معادلات گرما3. معادلات لاپلاس4. معادلات پواسن5. معادلات هلمهولتزکه به ترتیب در حالت های یک بعدی و دو بعدی و سه بعدی هستند.در ریاضیات مهندسی ما اغلب اوقات به حل مسائل شامل معادلات با مشتقات جزئیمیپردازیم و منظور از یک مسئله در معادلات یا مشتقات جزئی یافتن جوابی برای یکمعادله یا یک مشتق جزئی است که در برخی شرایط فیزیکی مفروض صدق کند.شرایط فیزیکی اصولا طوری انتخاب میشوند که نتیجه حل مسئله به جوابی یکتا منجرشود.جواب برخی معادلات همچون جواب معادله موج با شناخت u  روی کرانه D و مقداراولیه u و سرعت آن در لحظه اولیه بطور یکتا در داخل D مشخص میشوند.چنین مسائلی را مسائل با مقدار اولیه و کرانه ای مینامند. مسائلی که جواب معادلهبا مشخص بودن مقدار u بر کرانه D مشخص شود به مسائل مقدار کرانه ای مرسوم اند.