حل معادلات با مشتق جزیی در ریاضیات مهندسی
حل معادلات با مشتق جزیی در ریاضیات مهندسی
حل معادلات با مشتق جزیی در ریاضیات مهندسی
هر معادله از x ,y , u و مشتقات جزی u نسبت به x و y یک معادله با مشتق جزیی
موسوم است. در بحث مربوط با معادلات با مشتقات جزیی ، بنا نداریم به بررسی
انواع مختلف این گونه معادلات بپردازیم بلکه دسته خاصی از این نوع معادلات را
که به معادلات ریاضی فیزیک مرسوم هستند مورد بررسی قرار دهیم.
معادلات ریاضی فیزیک اصولا نوعی معادلات خطی یا به خطی از نوع دوم هستند.
منظور از یک معادله دیفرانسیل یا مشتق جزیی مرتبه دوم معادله ای است که نسبت به
u و مشتقات جزیی آن خطی باشد. معادلات شبه خطی بیشتر مورد توجه ما هستند.
اینگونه معادلات تنها نسبت به مشتقات جزئی مرتبه دوم خطی هستند.
دسته های خاصی از معادلات شبه خطی در مسائل کاربردی از اهمیت ویژه ای
برخوردار بوده و هستند و به معادلات ریاضی فیزیک مرسوم هستند.
معادلات شبه خطی عبارتند از :
1. معادلات موجی
2. معادلات گرما
4. معادلات پواسن
5. معادلات هلمهولتز
که به ترتیب در حالت های یک بعدی و دو بعدی و سه بعدی هستند.
در ریاضیات مهندسی ما اغلب اوقات به حل مسائل شامل معادلات با مشتقات جزئی
میپردازیم و منظور از یک مسئله در معادلات یا مشتقات جزئی یافتن جوابی برای یک
معادله یا یک مشتق جزئی است که در برخی شرایط فیزیکی مفروض صدق کند.
شرایط فیزیکی اصولا طوری انتخاب میشوند که نتیجه حل مسئله به جوابی یکتا منجرشود.
جواب برخی معادلات همچون جواب معادله موج با شناخت u روی کرانه D و مقدار
اولیه u و سرعت آن در لحظه اولیه بطور یکتا در داخل D مشخص میشوند.
چنین مسائلی را مسائل با مقدار اولیه و کرانه ای مینامند. مسائلی که جواب معادله
با مشخص بودن مقدار u بر کرانه D مشخص شود به مسائل مقدار کرانه ای مرسوم اند.
